Endomorphismus/Nilpotent/Diagonalisierbar/0/Aufgabe/Lösung

Den diagonalisierbaren Endomorphismus $\phi$ kann man bezüglich einer geeigneten Basis als Diagonalmatrix

$D=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& 0& \cdots & \cdots & 0\\ 0& a_{22}& 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& a_{n-1n-1}& 0\\ 0& \cdots & \cdots & 0& a_{nn}\end{array}\right)$

darstellen. Die $k$-te Potenz davon ist

$D^k=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}^k& 0& \cdots & \cdots & 0\\ 0& a_{22}^k& 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& a_{n-1n-1}^k& 0\\ 0& \cdots & \cdots & 0& a_{nn}^k\end{array}\right).$

Wegen der Nilpotenz gibt es ein $k$, wo dies die Nullmatrix ist, also ist

$a_{ii}^k=0$

für alle $i$. In einem Körper folgt aber aus  $a^k=0$  direkt  $a=0$, 

sodass $D$ schon die Nullmatrix ist.

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