Endomorphismus/Nilpotent/Diagonalisierbar/0/Aufgabe/Lösung

Den diagonalisierbaren Endomorphismus ${}\varphi$ kann man bezüglich einer geeigneten Basis als Diagonalmatrix

${}D={\begin{pmatrix}a_{11}&0&\cdots &\cdots &0\\0&a_{22}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{n-1\,n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&a_{nn}\end{pmatrix}}\,$

darstellen. Die ${}k$-te Potenz davon ist

${}D^{k}={\begin{pmatrix}a_{11}^{k}&0&\cdots &\cdots &0\\0&a_{22}^{k}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{n-1\,n-1}^{k}&0\\0&\cdots &\cdots &0&a_{nn}^{k}\end{pmatrix}}\,.$

Wegen der Nilpotenz gibt es ein ${}k$, wo dies die Nullmatrix ist, also ist

${}a_{ii}^{k}=0\,$

für alle ${}i$. In einem Körper folgt aber aus ${}a^{k}=0$ direkt ${}a=0$,

so dass ${}D$ schon die Nullmatrix ist.

Zur gelösten Aufgabe