Entkoppeltes Vektorfeld/Gradientenfeld/Direkt/Aufgabe/Lösung

Nach Voraussetzung können wir

F_{i} (x_{1}, \dots, x_{i - 1}, x_{i}, x_{i + 1}, \dots, x_{n}) = f_{i} (x_{i})

mit stetigen Funktionen

f_{i} : ℝ ⟶ ℝ

schreiben. Es sei $g_{i}$ eine Stammfunktion zu $f_{i}$ . Das Wegintegral ist somit

\begin{matrix} \int_{γ} F & = \int_{a}^{b} F_{1} (γ (t)) {γ_{1}}^{'} (t) + \dots + F_{n} (γ (t)) {γ_{n}}^{'} (t) d t \\ = \int_{a}^{b} f_{1} (γ_{1} (t)) {γ_{1}}^{'} (t) + \dots + f_{n} (γ_{n} (t)) {γ_{n}}^{'} (t) d t \\ = \int_{a}^{b} f_{1} (γ_{1} (t)) {γ_{1}}^{'} (t) d t + \dots + \int_{a}^{b} f_{n} (γ_{n} (t)) {γ_{n}}^{'} (t) d t \\ = g_{1} (γ (t)) |_{a}^{b} + \dots + g_{n} (γ (t)) |_{a}^{b} \\ = g_{1} (γ_{1} (b)) - g_{1} (γ_{1} (a)) + \dots + g_{n} (γ_{n} (b)) - g_{n} (γ_{n} (a)) . \end{matrix}

Dies hängt offenbar nicht vom Verlauf von

γ

ab.