Erststufige Peano-Arithmetik/Gleichheit/Repräsentierbarkeit/Aufgabe/Lösung

Es seien ${}m,n\in \mathbb {N}$ natürliche Zahlen. Bei

${}m=n\,$

ergibt sich

$PA\vdash m=n,$

indem man in die prädikatenlogische Tautologie ${}x=x$ die Variable ${}x$ durch den Term ${}m$ ersetzt. Dies verwendet kein Axiom der Peano-Arithmetik. Bei ${}m\neq n$ können wir

${}m=n+k\,$

mit ${}k\neq 0$ schreiben (oder umgekehrt). In einem Peano-Halbring ${}M$ besitzt jedes Element ${}\neq 0$ einen Vorgänger, daher gilt dort stets ${}k\neq 0$ (wobei ${}k$ durch die ${}k$-fache Summe der ${}1$ mit sich selbst repräsentiert wird). Wegen der Injektivität der Nachfolgerabbildung gilt dann auch

${}n+k\neq n\,.$

Nach dem Vollständigkeitssatz ist dies dann auch aus den Peano-Axiomen ableitbar.

Zur gelösten Aufgabe