Erzeugte Algebra/Erzeugter Körper/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}A$ eine ${}R$-Algebra und sei ${}f_{i}\in A$, ${}i\in I$, eine Familie von Elementen aus ${}A$. Dann heißt die kleinste ${}R$-Unteralgebra von ${}A$, die alle ${}f_{i}$ enthält, die von diesen Elementen erzeugte ${}R$-Algebra. Sie wird mit ${}R[f_{i},\,i\in I]$ bezeichnet.

Man kann diese ${}R$-Algebra auch als den kleinsten Unterring von ${}A$ charakterisieren, der sowohl ${}R$ als auch die ${}f_{i}$ enthält. Wir werden hauptsächlich von erzeugten ${}K$-Algebren in einer Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ sprechen, wobei nur ein einziger Erzeuger vorgegeben ist. Man schreibt dafür dann einfach ${}K[f]$, und diese ${}K$-Algebra besteht aus allen ${}K$-Linearkombinationen von Potenzen von ${}f$. Dies ist das Bild unter dem durch ${}X\mapsto f$ gegebenen Einsetzungshomomorphismus.

Gelegentlich werden wir auch den kleinsten Unterkörper von ${}L$ betrachten, der sowohl ${}K$ als auch eine Elementfamilie ${}f_{i}$, ${}i\in I$, enthält. Dieser wird mit ${}K(f_{i},i\in I)$ bezeichnet, und man sagt, dass die ${}f_{i}$ ein Körper-Erzeugendensystem von diesem Körper bilden. Es ist ${}K[f_{i},i\in I]\subseteq K(f_{i},i\in I)$ und insbesondere ${}K[f]\subseteq K(f)$.