Erzwingende Algebra/Erweiterungsideal/Universelle Eigenschaft/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {a}}=(f_{1},\ldots ,f_{n})$ ein endlich erzeugtes Ideal. Es sei ${}f\in R$ ein weiteres Element. Dann nennt man die ${}R$-Algebra

${}A=R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/(f_{1}T_{1}+\cdots +f_{n}T_{n}+f)\,$

die erzwingende Algebra zu den ${}f_{1},\ldots ,f_{n},f$. Zeige, dass ${}A$ folgende Eigenschaft erfüllt: Zu jedem Ringhomomorphismus ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ in einen kommutativen Ring ${}S$ mit der Eigenschaft ${}\varphi (f)\in {\mathfrak {a}}S$ gibt es einen ${}R$-Algebrahomomorphismus ${}\vartheta \colon A\rightarrow S$. Zeige ebenso, dass dieser Homomorphismus nicht eindeutig bestimmt ist.

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