Etale/Zusammenhängende Basis/Schnitt ist offene Einbettung/Fakt/Beweis

Beweis

Zum Beweis der abgeschlossenen Einbettung betrachten wir das kommutative Diagramm

${\begin{matrix}X&{\stackrel {\Gamma _{s}}{\longrightarrow }}&X\times _{X}Y&\\\!\!\!\!\!s\downarrow &&\downarrow (s\times \operatorname {Id} )\!\!\!\!\!&\\Y&{\stackrel {\triangle _{\varphi }}{\longrightarrow }}&Y\times _{X}Y&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

was wegen ${}\varphi \circ s=\operatorname {Id} _{X}$ ein Diagramm über ${}X$ ist. Nach Voraussetzung ist ${}\triangle _{\varphi }$ eine abgeschlossene Einbettung, sodass dies auch für ${}\Gamma _{s}$ gilt. Der Isomorphismus

$p_{2}\colon X\times _{X}Y\longrightarrow Y$

zeigt, dass ${}s=p_{2}\circ \Gamma _{s}$ ebenfalls eine abgeschlossene Einbettung ist.

Zur bewiesenen Aussage