Etale Fundamentalgruppe/Integres Schema/Indizierung durch Galoiserweiterungen des Funktionenkörpers/Bemerkung

Zu einem integren normalen Schema ${}X$ ist es relativ einfach, eine geordnete Menge anzugeben, die sämtliche Galoisüberdeckungen von ${}X$ erfasst (im Sinne der Prorepräsentierung). Man betrachtet den Funktionenkörper ${}K=K(X)$ und startet wie in Fakt mit der Menge aller endlichen Galoiserweiterungen ${}K\subseteq L$ mit ${}L\subseteq K^{\rm {sep}}$, wobei ${}K^{\rm {sep}}$ ein separabler Abschluss von ${}K$ ist. Man beschränkt sich dann auf diejenigen Erweiterungen ${}K\subseteq L$, für die der integrale Abschluss von ${}X$ in ${}L$ selbst étale (und dann automatisch galoissch) ist (diese Auswahl konstituiert also die Indexmenge, wobei die natürliche Inklusion die Ordnung festlegt). Die Abbildung

$\operatorname {Spec} {\left(K^{\rm {sep}}\right)}\longrightarrow \operatorname {Spec} {\left(L\right)}\longrightarrow Y$

definiert dabei die Punktierung von ${}Y$ über der Basispunktierung ${}\operatorname {Spec} {\left(K^{\rm {sep}}\right)}\rightarrow \operatorname {Spec} {\left(K\right)}\rightarrow X$, d.h. man nimmt den generischen Punkt des Schemas als Basispunkt.