Etale Fundamentalgruppe/Galoistheorie/Körper/Bemerkung

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Es sei ein Körper und

eine Einbettung in einen separablen Abschluss. Die

étalen Morphismen entsprechen den separablen -Algebren , das sind endlichdimensionale -Algebren, die das direkte Produkt von Körpern sind, die alle separable Körpererweiterungen von sind. Insbesondere treten hierbei die endlichen separablen Körpererweiterungen auf. Eine Punktierung von durch ist ein -Algebrahomomorphismus

der durch einen der Körper faktorisiert. Wenn galoissch ist, so sind alle untereinander isomorph und selbst eine endliche galoissche Körpererweiterung von . Wenn nicht zusammenhängend ist, so kann die Automorphismengruppe größer als die Faser sein. Man denke an die -fache disjunkte Vereinigung des Grundpunktes mit sich selbst. Die Automorphismengruppe besitzt dann Elemente. Da man sich bei der Konstruktion der étalen Fundamentalgruppe auf zusammenhängende Erweiterungen beschränken kann, können wir uns auf eine Familie von galoisschen Körpererweiterungen beschränken. Dabei kann man überhaupt alle über endlichen und galoisschen Zwischenkörper , , als Indexmenge nehmen. Somit ist die absolute Galoisgruppe von .