Etale Fundamentalgruppe/Galoistheorie/Körper/Bemerkung

Es sei ${}K$ ein Körper und

$K\longrightarrow K^{\rm {sep}}$

eine Einbettung in einen separablen Abschluss. Die étalen Morphismen entsprechen den separablen ${}K$-Algebren ${}A$, das sind endlichdimensionale ${}K$-Algebren, die das direkte Produkt von Körpern ${}A=K_{1}\times \cdots \times K_{m}$ sind, die alle separable Körpererweiterungen von ${}K$ sind. Insbesondere treten hierbei die endlichen separablen Körpererweiterungen ${}K\subseteq L$ auf. Eine Punktierung von ${}\operatorname {Spec} {\left(A\right)}$ durch ${}\operatorname {Spec} {\left(K^{\rm {sep}}\right)}$ ist ein ${}K$-Algebrahomomorphismus

$A\longrightarrow K^{\rm {sep}},$

der durch einen der Körper ${}K_{j}$ faktorisiert. Wenn ${}A$ galoissch ist, so sind alle ${}K_{j}$ untereinander isomorph und selbst eine endliche galoissche Körpererweiterung von ${}K$. Wenn ${}\operatorname {Spec} {\left(A\right)}$ nicht zusammenhängend ist, so kann die Automorphismengruppe größer als die Faser sein. Man denke an die ${}n$-fache disjunkte Vereinigung des Grundpunktes mit sich selbst. Die Automorphismengruppe besitzt dann ${}n!$ Elemente. Da man sich bei der Konstruktion der étalen Fundamentalgruppe auf zusammenhängende Erweiterungen beschränken kann, können wir uns auf eine Familie von galoisschen Körpererweiterungen beschränken. Dabei kann man überhaupt alle über ${}K$ endlichen und galoisschen Zwischenkörper ${}L$, ${}K\subseteq L\subseteq K^{\rm {sep}}$, als Indexmenge nehmen. Somit ist ${}\pi _{1}^{\rm {{\acute {e}}t}}(\operatorname {Spec} {\left(K\right)},{\bar {x}})=\operatorname {Gal} _{}^{}{\left(K^{\rm {sep}}{|}K\right)}$ die absolute Galoisgruppe von ${}K$.