Euklidische Ebene/Eigentliche Isometrie/Drehung/Fakt

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

eine eigentliche, lineare Isometrie.

Dann ist ${}\varphi$ eine Drehung,

und ihre Matrix hat bezüglich der Standardbasis die Gestalt

${}D(\theta )={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\theta &-\operatorname {sin} \,\theta \\\operatorname {sin} \,\theta &\operatorname {cos} \,\theta \end{pmatrix}}\,$

mit einem eindeutig bestimmten Drehwinkel ${}\theta \in [0,2\pi [$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen