Beweis
Es seien
und
die Bilder der Standardvektoren
und
.
Unter einer Isometrie wird die Länge eines Vektors erhalten, daher ist
-

Daher ist
eine reelle Zahl zwischen
und
und
,
d.h.
ist ein Punkt auf dem reellen Einheitskreis. Der Einheitskreis wird bekanntlich durch die trigonometrischen Funktionen parametrisiert, d.h. es gibt einen eindeutig bestimmten Winkel
,
,
mit
-

Da unter einer Isometrie die Senkrechtsbeziehung erhalten bleibt, muss
-

gelten.
Bei
folgt daraus
(wegen
)
.
Dann ist
und wegen der Eigentlichkeit muss das Vorzeichen dasselbe wie von
sein. Es sei also
.
Dann gilt
-

Da die beiden Vektoren die Länge
haben, muss der skalare Faktor
den Betrag
haben. Bei
wäre
und die Determinante wäre
. Also muss
und
sein, was die Behauptung ergibt.