Euklidische Ebene/Eigentliche Isometrie/Drehung/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien ${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}$ die Bilder der Standardvektoren ${}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$. Unter einer Isometrie wird die Länge eines Vektors erhalten, daher ist

${}\Vert {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\Vert ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=1\,.$

Da unter einer Isometrie die Senkrechtsbeziehung erhalten bleibt, muss

${}\left\langle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}\right\rangle =xu+yv=0\,$

gelten. Bei  ${}y=0$  folgt daraus (wegen ${}x=\pm 1$)  ${}u=0$.  Dann ist  ${}v=\pm 1$  und wegen der Eigentlichkeit muss das Vorzeichen dasselbe wie von ${}x$ sein. Es sei also  ${}y\neq 0$.  Dann gilt

${}{\begin{pmatrix}-v\\u\end{pmatrix}}={\frac {u}{y}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

Da die beiden Vektoren die Länge ${}1$ haben, muss der skalare Faktor ${}u/y$ den Betrag ${}1$ haben. Bei  ${}u=y$  wäre  ${}v=-x$  und die Determinante wäre ${}-1$. Also muss $u=-y$ und $v=x$ sein. Die beschreibende Matrix bezüglich der Standardmatrix hat also die Form

${\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}}{\text{ mit }}x^{2}+y^{2}=1.$

Insbesondere ist ${}x$ eine reelle Zahl zwischen ${}-1$ und ${}+1$ und  ${}y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}$,  d.h. ${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$ ist ein Punkt auf dem reellen Einheitskreis. Der Einheitskreis wird bekanntlich durch die trigonometrischen Funktionen parametrisiert, d.h. es gibt einen eindeutig bestimmten Winkel ${}\theta$, ${}0\leq \theta <2\pi$, mit

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}\,.$

Zur bewiesenen Aussage