Euklidische Ebene/Eigentliche Isometrie/Drehung/Fakt/Beweis

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Beweis

Es seien und die Bilder der Standardvektoren und . Unter einer Isometrie wird die Länge eines Vektors erhalten, daher ist

Daher ist eine reelle Zahl zwischen und und , d.h. ist ein Punkt auf dem reellen Einheitskreis. Der Einheitskreis wird bekanntlich durch die trigonometrischen Funktionen parametrisiert, d.h. es gibt einen eindeutig bestimmten Winkel , , mit

Da unter einer Isometrie die Senkrechtsbeziehung erhalten bleibt, muss

gelten. Bei folgt daraus (wegen ) . Dann ist und wegen der Eigentlichkeit muss das Vorzeichen dasselbe wie von sein. Sei also . Dann gilt

Da die beiden Vektoren die Länge haben, muss der skalare Faktor den Betrag haben. Bei wäre und die Determinante wäre . Also muss und sein, was die Behauptung ergibt.

Zur bewiesenen Aussage