Euklidische Ringe/Diskrete Bewertungsringe/Zusammenhang/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich. Betrachte die beiden folgenden Bedingungen:

1. Es gibt ein Primelement  ${}p\in R$  mit der Eigenschaft, dass sich jedes Element  ${}f\in R$,   ${}f\neq 0$,  eindeutig als  ${}f=up^{i}$  darstellen lässt mit einer Einheit ${}u$ und ${}i\in \mathbb {N}$.
2. ${}R$ ist ein euklidischer Bereich mit einer surjektiven euklidischen Funktion ${}\delta :R\setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {N}$, die zusätzlich die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt.
   a) Es gilt  ${}\delta (fg)=\delta (f)+\delta (g)$  für alle  ${}f,g\in R\setminus \{0\}$. 
   b) Es gilt ${}f{|}g$ genau dann, wenn  ${}\delta (f)\leq \delta (g)$  für alle  ${}f,g\in R\setminus \{0\}$. 

Zeige, dass beide Bedingungen äquivalent sind. Können Sie Beispiele für solche Ringe angeben?

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