Euklidische Ringe/Diskrete Bewertungsringe/Zusammenhang/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich. Betrachte die beiden folgenden Bedingungen:

(1) Es gibt ein Primelement ${}p\in R$ mit der Eigenschaft, dass sich jedes Element ${}f\in R$, ${}f\neq 0$, eindeutig als ${}f=up^{i}$ darstellen lässt mit einer Einheit ${}u$ und ${}i\in \mathbb {N}$.

(2) ${}R$ ist ein euklidischer Bereich mit einer surjektiven euklidischen Funktion ${}\delta :R\setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {N}$, die zusätzlich die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt.

a) Es gilt ${}\delta (fg)=\delta (f)+\delta (g)$ für alle ${}f,g\in R\setminus \{0\}$.

b) Es gilt ${}f{|}g$ genau dann, wenn ${}\delta (f)\leq \delta (g)$ für alle ${}f,g\in R\setminus \{0\}$.

Zeige, dass beide Bedingungen äquivalent sind. Können Sie Beispiele für solche Ringe angeben?

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