Euklidische Vektorräume/Injektiv/Winkeltreu/Skalarproduktformel/Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine injektive lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann winkeltreu ist, wenn für alle ${}u,v\in V$, ${}u,v\neq 0$, die Gleichung

${}\left\langle \varphi (u),\varphi (v)\right\rangle ={\frac {\Vert {\varphi (u)}\Vert }{\Vert {u}\Vert }}\cdot {\frac {\Vert {\varphi (v)}\Vert }{\Vert {v}\Vert }}\cdot \left\langle u,v\right\rangle \,$

gilt.

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