Euklidischer Bereich/Hauptidealbereich/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

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Sei ein von verschiedenes Ideal. Betrachte die nichtleere Menge

Diese Menge hat ein Minimum , das von einem Element , herrührt, sagen wir . Wir behaupten, dass ist. Dabei ist die Inklusion „“ klar. Zum Beweis der Inklusion „“ sei gegeben. Aufgrund der Definition eines euklidischen Bereiches gilt mit oder . Wegen und der Minimalität von kann der zweite Fall nicht eintreten. Also ist

und ist ein Vielfaches von .