Es sei ein von verschiedenes Ideal. Betrachte die nichtleere Menge
-
Diese Menge hat ein Minimum , das von einem Element , herrührt, sagen wir . Wir behaupten, dass
ist. Dabei ist die Inklusion „“ klar. Zum Beweis der Inklusion „“ sei
gegeben. Aufgrund der Definition eines euklidischen Bereiches gilt
mit
oder
.
Wegen
und der Minimalität von kann der zweite Fall nicht eintreten. Also ist
und
ist ein Vielfaches von
.