Euklidischer Bereich/Hauptidealbereich/Fakt mit Beweisklappe

Satz

Ein euklidischer Bereich ist ein Hauptidealbereich.

Beweis

Es sei ${}I$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal. Betrachte die nichtleere Menge

${\left\{\delta (a)\mid a\in I,\,a\neq 0\right\}}.$

Diese Menge hat ein Minimum ${}m$, das von einem Element ${}b\in I,\,b\neq 0$, herrührt, sagen wir ${}m=\delta (b)$. Wir behaupten, dass ${}I=(b)$ ist. Dabei ist die Inklusion „${}\supseteq$“ klar. Zum Beweis der Inklusion „${}\subseteq$“ sei ${}a\in I$ gegeben. Aufgrund der Definition eines euklidischen Bereiches gilt ${}a=qb+r$ mit ${}r=0$ oder ${}\delta (r)<\delta (b)$. Wegen ${}r\in I$ und der Minimalität von ${}\delta (b)$ kann der zweite Fall nicht eintreten. Also ist ${}r=0$ und ${}a$ ist ein Vielfaches von ${}b$.

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