Euklidischer Raum/Affine Unterräume/Senkrecht/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei also ${}P_{1}-P_{2}=u_{1}+u_{2}+u$ mit ${}u_{1}\in U_{1}$, ${}u_{2}\in U_{2}$ und ${}u\in {\left(U_{1}+U_{2}\right)}^{\perp }$, wobei es eine solche Zerlegung immer gibt, und wobei ${}u_{1},u_{2}$ nicht eindeutig bestimmt sein müssen (falls ${}U_{1}\cap U_{2}\neq 0$ ist), aber ${}u$ eindeutig bestimmt ist. Es ist dann

${}P_{1}-u_{1}=P_{2}+u_{2}+u\,$

und dabei ist ${}Q_{1}:=P_{1}-u_{1}\in E_{1}$ und ${}Q_{2}:=P_{2}+u_{2}\in E_{2}$. Der Abstand zwischen ${}Q_{1}$ und ${}Q_{2}$ ist ${}\Vert {u}\Vert$. Für beliebige Punkte ${}R_{1}=Q_{1}+v_{1}\in E_{1}$ und ${}R_{2}=Q_{2}+v_{2}\in E_{2}$ mit ${}v_{1}\in U_{1}$ und ${}v_{2}\in U_{2}$ ist

${}{\begin{aligned}d(R_{1},R_{2})^{2}&=\Vert {R_{1}-R_{2}}\Vert ^{2}\\&=\Vert {v_{1}-v_{2}+u}\Vert ^{2}\\&=\left\langle v_{1}-v_{2}+u,v_{1}-v_{2}+u\right\rangle \\&=\left\langle v_{1}-v_{2},v_{1}-v_{2}\right\rangle +\left\langle u,u\right\rangle \\&\geq \left\langle u,u\right\rangle ,\end{aligned}}$

d.h.

${}d(R_{1},R_{2})\geq \Vert {u}\Vert \,.$

Zur bewiesenen Aussage