Euklidischer Raum/Affine Unterräume/Senkrecht/Fakt

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und seien  ${}E_{1}=P_{1}+U_{1}$  und  ${}E_{2}=P_{2}+U_{2}$  nichtleere affine Unterräume mit den Untervektorräumen  ${}U_{1},U_{2}\subseteq V$.  Es sei

${}P_{1}-P_{2}=u_{1}+u_{2}+u\,$

mit  ${}u_{1}\in U_{1}$,   ${}u_{2}\in U_{2}$  und  ${}u\in {\left(U_{1}+U_{2}\right)}^{\perp }$. 

Dann ist der Abstand ${}d(E_{1},E_{2})$ gleich ${}\Vert {u}\Vert$ und wird in den Punkten  ${}P_{1}-u_{1}\in E_{1}$  und  ${}P_{2}+u_{2}\in E_{2}$  angenommen.

Insbesondere steht der Verbindungsvektor zu Punkten, in denen der minimale Abstand angenommen wird, sowohl auf ${}E_{1}$ als auch auf ${}E_{2}$ senkrecht.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen