Euklidischer Raum/Lineare Abbildung/Stetig/Fakt/Beweis

Beweis

Eine komplex-lineare Abbildung ist auch reell-linear, und die euklidische Metrik hängt nur von der reellen Struktur ab. Wir können also $𝕂 = ℝ$ annehmen. Aufgrund von Fakt können wir $m = 1$ annehmen. Die Abbildung sei durch

φ : ℝ^{n} ⟶ ℝ, (x_{1}, \dots, x_{n}) ⟼ \sum_{i = 1}^{n} a_{i} x_{i},

mit $a_{i} \in ℝ$ gegeben. Die Nullabbildung ist konstant und daher stetig, also sei $a = max (| a_{i} |, i = 1, \dots, n) > 0$ . Es sei $x \in ℝ^{n}$ und ein $ϵ > 0$ vorgegeben. Für alle $y \in ℝ^{n}$ mit $d (x, y) \leq \frac{ϵ}{n a}$ ist insbesondere $| x_{i} - y_{i} | \leq \frac{ϵ}{n a}$ für alle $i$ und daher ist

\begin{matrix} d (φ (x), φ (y)) & = | \sum_{i = 1}^{n} a_{i} x_{i} - \sum_{i = 1}^{n} a_{i} y_{i} | \\ = | \sum_{i = 1}^{n} a_{i} (x_{i} - y_{i}) | \\ \leq \sum_{i = 1}^{n} | a_{i} (x_{i} - y_{i}) | \\ \leq n a \frac{ϵ}{n a} \\ \leq ϵ . \end{matrix}

Zur bewiesenen Aussage