Beweis
Eine komplex-lineare Abbildung ist auch reell-linear, und die euklidische Metrik hängt nur von der reellen Struktur ab. Wir können also
annehmen. Aufgrund von
Fakt
können wir
annehmen. Die Abbildung sei durch
-
mit
gegeben. Die Nullabbildung ist konstant und daher stetig, also sei
.
Es sei
und ein
vorgegeben. Für alle
mit
ist insbesondere
für alle
und daher ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}d{\left(\varphi (x),\varphi (y)\right)}&=\vert {\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}-\sum _{i=1}^{n}a_{i}y_{i}}\vert \\&=\vert {\sum _{i=1}^{n}a_{i}(x_{i}-y_{i})}\vert \\&\leq \sum _{i=1}^{n}\vert {a_{i}(x_{i}-y_{i})}\vert \\&\leq na\vert {x_{i}-y_{i}}\vert \\&\leq \epsilon .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a33747a6494f2e451f947f58ae8a00ba8a13a921)