Euklidischer Vektorraum/Orthonormalbasis und Isometrie vom R^n/Aufgabe/Lösung

Es sei

φ : ℝ^{n} ⟶ V

die durch $e_{i} \mapsto φ (e_{i}) = u_{i}$ gegebene lineare Abbildung. Wenn $φ$ eine Isometrie ist, so ist

⟨ u_{i}, u_{j} ⟩ = ⟨ φ (e_{i}), φ (e_{j}) ⟩ = ⟨ e_{i}, e_{j} ⟩ = δ_{i j},

also haben die Bildvektoren die Norm $1$ und stehen senkrecht aufeinander. Da es $n$ Vektoren sind und $V$ $n$ -dimensional ist, liegt eine Basis und somit eine Orthonormalbasis vor.

Es sei umgekehrt $φ (e_{i})$ eine Orthonormalbasis. Dann gilt für beliebige Vektoren $v = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} e_{i}$ und $w = \sum_{i = 1}^{n} b_{i} e_{i}$ einerseits

⟨ v, w ⟩ = ⟨ \sum_{i = 1}^{n} a_{i} e_{i}, \sum_{i = 1}^{n} b_{i} e_{i} ⟩ = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i}

und andererseits

\begin{matrix} ⟨ φ (v), φ (w) ⟩ & = ⟨ φ (\sum_{i = 1}^{n} a_{i} e_{i}), φ (\sum_{i = 1}^{n} b_{i} e_{i}) ⟩ \\ = ⟨ \sum_{i = 1}^{n} a_{i} φ (e_{i}), \sum_{i = 1}^{n} b_{i} φ (e_{i}) ⟩ \\ = ⟨ \sum_{i = 1}^{n} a_{i} u_{i}, \sum_{i = 1}^{n} b_{i} u_{i} ⟩ \\ = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i} . \end{matrix}

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