Euklidischer Vektorraum/Orthonormalbasis und Isometrie vom R^n/Aufgabe

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum der Dimension ${}n$. Zeige, dass eine Vektorfamilie ${}u_{1},\ldots ,u_{n}\in V$ genau dann eine Orthonormalbasis von ${}V$ ist, wenn die zugehörige lineare Abbildung

$\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow V,\,e_{i}\longmapsto u_{i},$

eine Isometrie zwischen ${}\mathbb {R} ^{n}$ und ${}V$ ist.

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