Euklidischer Vektorraum/R^3/Eigentliche Isometrie/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten das charakteristische Polynom von ${}\varphi$, also

${}P(\lambda )=\det \left(\lambda E_{3}-\varphi \right)\,.$

Dies ist ein normiertes reelles Polynom vom Grad drei. Für ${}\lambda =0$ ergibt sich

${}P(0)=\det \left(-\varphi \right)=-\det \left(\varphi \right)=-1\,.$

Da für ${}\lambda \to \infty$ das Polynom ${}P(\lambda )\to \infty$ geht, muss es für ein positives ${}\lambda$ eine Nullstelle geben. Aufgrund von Fakt kommt dafür nur ${}\lambda =1$ in Frage.

Zur bewiesenen Aussage