Euklidischer Vektorraum/Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren/Aufgabe

Man beweise das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren. Das besagt, dass man in einem euklidischen Vektorraum aus einer gegebenen Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Orthonormalbasis ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ basteln kann derart, dass die erzeugten Unterräume

${}\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle =\langle u_{1},\ldots ,u_{i}\rangle \,$

übereinstimmen für alle ${}i=1,\ldots ,n$.

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