Exponentialfunktion/Verdoppelung/Aufgabe

1. Es sei  ${}a>1$  und  ${}g(x)=a^{x}$  die Exponentialfunktion zur Basis ${}a$. Zeige, dass es ein  ${}w\in \mathbb {R} _{+}$  mit  ${}g(x+w)=2g(x)$  für alle  ${}x\in \mathbb {R}$  gibt.
2. Es sei  ${}w>0$  vorgegeben. Zeige, dass es eine Exponentialfunktion ${}b^{x}$ mit  ${}b>1$  und mit

   ${}b^{x+w}=2b^{x}\,$

   für alle  ${}x\in \mathbb {R}$  gibt.

3. Man gebe ein Beispiel für eine stetige, streng wachsende Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ mit  ${}f(x+1)=2f(x)$  für alle  ${}x\in \mathbb {R}$,  die keine Exponentialfunktion ist.

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