Exponentialfunktion/Verdoppelung/Aufgabe/Lösung

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
  1. Es sei und die Exponentialfunktion zur Basis . Zeige, dass es ein mit für alle gibt. Wir setzen

    Dann ist

  2. Aus der Bedingung folgt

    Damit ist in der Tat

  3. Wir betrachten die Funktion

    mit . Jedes liegt in einem eindeutigen halboffenen Intervall mit . Wir setzen die Funktion auf ganz durch die Festlegung

    fort. Dies stimmt für mit überein, da dort ist. Für ist

    Die Funktion ist stetig, was auf den ganzzahligen Intervallen klar ist und an den Intervallgrenzen wegen (der Funktionslimes ist für )

    gilt. Die Funktion ist auch streng monoton wachsend, was ebenfalls auf den ganzzahligen Intervallen klar ist und an den Übergängen wegen der Stetigkeit gilt. Die Funktion ist keine Exponentialfunktion, da sie auf linear ist.

Zur gelösten Aufgabe