Exponentialreihe/Komplex/Elementare Eigenschaften/Fakt

Die Exponentialfunktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z,$

besitzt folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}\exp 0=1$.
2. Für jedes ${}z\in {\mathbb {C} }$ ist ${}\exp \left(-z\right)=(\exp z)^{-1}$. Insbesondere ist ${}\exp z\neq 0$.
3. Für ganze Zahlen ${}n\in \mathbb {Z}$ ist ${}\exp n=(\exp 1)^{n}$.
4. Für reelles ${}z$ ist ${}\exp z\in \mathbb {R} _{+}$.
5. Für reelle Zahlen ${}z>0$ ist ${}\exp z>1$ und für ${}z<0$ ist ${}\exp z<1$.
6. Die reelle Exponentialfunktion ist streng wachsend.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen