Exponentialreihe/Komplex/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis
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Zur bewiesenen Aussage
Beweis
(1) folgt direkt aus der Definition.
(2) folgt aus
aufgrund von
Fakt.
(3) folgt aus
Fakt
und (2).
(4). Der Wert der Exponentialreihe für eine reelle Zahl ist wieder reell, da die reellen Zahlen in abgeschlossen sind. Die Nichtnegativität ergibt sich aus
(5). Für reelles ist , so dass nach (4) ein Faktor sein muss und der andere Faktor . Für ist
da ja für gerades die Summationsglieder übereinstimmen und für ungerades die linke Seite größer als die rechte ist. Also ist .
(6). Für reelle ist und daher nach (5) , also