Zum Inhalt springen

Exponentialreihe/Komplex/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Beweis

(1) folgt direkt aus der Definition.
(2) folgt aus

aufgrund von Fakt.
(3) folgt aus Fakt und (2).
(4). Der Wert der Exponentialreihe für eine reelle Zahl ist wieder reell, da die reellen Zahlen in abgeschlossen sind. Die Nichtnegativität ergibt sich aus


(5). Für ist

da alle Summanden positiv sind. Wegen (4) ist , sodass der andere Faktor sein muss.
(6). Für reelle ist und daher nach (5) , also