Exponentialreihe/Komplex/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

(1) folgt direkt aus der Definition.
(2) folgt aus

${}\exp z\cdot \exp \left(-z\right)=\exp \left(z-z\right)=\exp 0=1\,$

aufgrund von Fakt.
(3) folgt aus Fakt und (2).
(4). Der Wert der Exponentialreihe für eine reelle Zahl ist wieder reell, da die reellen Zahlen in ${}\mathbb {C}$ abgeschlossen sind. Die Nichtnegativität ergibt sich aus

${}\exp z=\exp \left({\frac {z}{2}}+{\frac {z}{2}}\right)=\exp {\frac {z}{2}}\cdot \exp {\frac {z}{2}}={\left(\exp {\frac {z}{2}}\right)}^{2}\geq 0\,.$

(5). Für reelles ${}x$ ist ${}\exp x\cdot \exp \left(-x\right)=1$, so dass nach (4) ein Faktor ${}\geq 1$ sein muss und der andere Faktor ${}\leq 1$. Für ${}x>0$ ist

${}\exp x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}>\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}(-x)^{n}=\exp \left(-x\right)\,,$

da ja für gerades ${}n$ die Summationsglieder übereinstimmen und für ungerades ${}n$ die linke Seite größer als die rechte ist. Also ist ${}\exp x>1$.
(6). Für reelle ${}x>y$ ist ${}x-y>0$ und daher nach (5) ${}\exp \left(x-y\right)>1$, also

${}\exp x=\exp \left(x-y+y\right)=\exp \left(x-y\right)\exp y>\exp y\,.$

Zur bewiesenen Aussage