Exponentialreihe/Komplex/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

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Beweis

(1) folgt direkt aus der Definition.
(2) folgt aus

aufgrund von Fakt.
(3) folgt aus Fakt und (2).
(4). Der Wert der Exponentialreihe für eine reelle Zahl ist wieder reell, da die reellen Zahlen in abgeschlossen sind. Die Nichtnegativität ergibt sich aus


(5). Für reelles ist , so dass nach (4) ein Faktor sein muss und der andere Faktor . Für ist

da ja für gerades die Summationsglieder übereinstimmen und für ungerades die linke Seite größer als die rechte ist. Also ist .
(6). Für reelle ist und daher nach (5) , also


Zur bewiesenen Aussage