Exponentialreihe/Komplex/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis
Erscheinungsbild
Beweis
(1) folgt direkt aus der Definition.
(2) folgt aus
aufgrund von
Fakt.
(3) folgt aus
Fakt
und (2).
(4). Der Wert der Exponentialreihe für eine reelle Zahl ist wieder reell, da die reellen Zahlen in abgeschlossen sind. Die Nichtnegativität ergibt sich aus
(5). Für ist
da alle Summanden positiv sind. Wegen (4) ist
,
sodass der andere Faktor sein muss.
(6). Für reelle
ist
und daher nach (5)
,
also