Wenn man ein bestimmtes Budget
zur Verfügung hat und
verschiedene Produkte zum fixierten Stückpreis
kaufen möchte, wobei noch nicht feststeht, wie viel man von jedem Produkt kaufen möchte, so ergibt sich die Nebenbedingung
-
![{\displaystyle {}f(x_{1},\ldots ,x_{n})=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=b\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c397ee87d92e94f0359f8dbc4ec655a5c843a77)
auf
.
Unter dieser Nebenbedingung möchte man den Nutzen optimieren. Betrachten wir eine Zielfunktion der Form
-
![{\displaystyle {}h(x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13ebecd4966c8cc3825347e78ab3508d77d86710)
Nach
Fakt
ergibt sich die Bedingung
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![{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}\alpha _{1}x_{1}^{\alpha _{1}-1}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}\\\alpha _{2}x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}-1}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}\\\vdots \\\alpha _{n}x_{1}^{\alpha _{1}-1}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}-1}\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba761b4d4108fde686a7c1afaf8680731b58dae7)
Wir multiplizieren die
-te Bedingung mit
und erhalten die Bedingungen
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![{\displaystyle {}\alpha _{i}x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}=\lambda a_{i}x_{i}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0502f142666c60ee193d95764a1d361cc57ac097)
Mit dem Ansatz
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![{\displaystyle {}\lambda =cx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4984ec98c444600c5f4b46a5510caaa04b8817ba)
ergibt sich
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![{\displaystyle {}x_{i}={\frac {\alpha _{i}}{ca_{i}}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e91e8c45cef755b92e2282122a6c98d12a0d97f)
wobei man
so bestimmt, dass der Punkt auf dem affin-linearen Unterraum liegt, also
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![{\displaystyle {}c={\frac {\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}{b}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f024b4f650eda06f3da97d6369ac9a0bb0f09870)