Extrema/Linearform/Preis/Monomiale Zielfunktion/Beispiel

Wenn man ein bestimmtes Budget ${}b$ zur Verfügung hat und ${}n$ verschiedene Produkte zum fixierten Stückpreis ${}a_{i}$ kaufen möchte, wobei noch nicht feststeht, wie viel man von jedem Produkt kaufen möchte, so ergibt sich die Nebenbedingung

${}f(x_{1},\ldots ,x_{n})=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=b\,$

auf ${}U=\mathbb {R} _{+}^{n}$. Unter dieser Nebenbedingung möchte man den Nutzen optimieren. Betrachten wir eine Zielfunktion der Form

${}h(x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}\,.$

Nach Fakt ergibt sich die Bedingung

${}{\begin{pmatrix}\alpha _{1}x_{1}^{\alpha _{1}-1}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}\\\alpha _{2}x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}-1}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}\\\vdots \\\alpha _{n}x_{1}^{\alpha _{1}-1}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}-1}\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\,.$

Wir multiplizieren die ${}i$-te Bedingung mit ${}x_{i}$ und erhalten die Bedingungen

${}\alpha _{i}x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}=\lambda a_{i}x_{i}\,.$

Mit dem Ansatz

${}\lambda =cx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}\,$

ergibt sich

${}x_{i}={\frac {\alpha _{i}}{ca_{i}}}\,,$

wobei man ${}c$ so bestimmt, dass der Punkt auf dem affin-linearen Unterraum liegt, also

${}c={\frac {\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}{b}}\,.$