Extrema/Nebenbedingung/Bedingung durch Linearform/Fakt

Es sei  ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  eine offene Teilmenge, sei

$f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Linearform und sei  ${}M=f^{-1}(b)$  die (affin-lineare) Faser von ${}f$ über  ${}b\in \mathbb {R}$.  Es sei ${}h\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion auf ${}U$, deren Einschränkung ${}h{|}_{M}$ auf ${}M$ im Punkt  ${}a\in M$  ein lokales Extremum besitze.

Dann ist ${}\left(Dh\right)_{a}$ ein Vielfaches von ${}f$, d.h. es gibt ein  ${}\lambda \in \mathbb {R}$  mit

${}\left(Dh\right)_{a}=\lambda f\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen