Extrema/Sinus x mal Kosinus y/Aufgabe/Lösung

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Es ist

und

Damit beide partiellen Ableitung gleich sind, muss

und

mit oder dasselbe mit vertauschten Rollen sein. Die kritischen Punkte sind also

Die Hesse-Matrix ist

Bei einem Punkt der linken Art ist dies bei beide gerade oder beide ungerade ist dies

und es liegt nach Fakt ein isoliertes lokales Minimum mit dem Wert vor und bei gerade und ungerade oder umgekehrt ist dies

und es liegt ein isoliertes lokales Maximum mit dem Wert vor. Diese lokalen Extrema sind auch global, da die Funktionswerte in sind.

Bei einem Punkt der rechten Art ist die Hesse-Matrix gleich

vor. In beiden Fällen ist die Hesse-Form indefinit und es liegt kein lokales Extremum vor.