Es ist
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und
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Damit beide partiellen Ableitung gleich sind, muss
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und
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mit
oder dasselbe mit vertauschten Rollen sein. Die kritischen Punkte sind also
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Die Hesse-Matrix ist
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Bei einem Punkt der linken Art ist dies bei beide gerade oder beide ungerade ist dies
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und es liegt
nach Fakt
ein isoliertes lokales Minimum mit dem Wert vor und bei gerade und ungerade oder umgekehrt ist dies
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und es liegt ein isoliertes lokales Maximum mit dem Wert vor. Diese lokalen Extrema sind auch global, da die Funktionswerte in sind.
Bei einem Punkt der rechten Art ist die Hesse-Matrix gleich
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vor. In beiden Fällen ist die Hesse-Form indefinit und es liegt kein lokales Extremum vor.