Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Definitheit der Hesse-Form/Extrema/Fakt

Definitheit und Extrema

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum,  $G\subseteq V$  eine offene Teilmenge und

$f:G⟶ℝ$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei  $P\in G$  mit  ${\left(Df\right)}_P=0$.  Dann gelten folgende Aussagen.

1. Wenn ${\mathrm{Hess}}_{P}f$ negativ definit ist, so besitzt $f$ ein isoliertes lokales Maximum in $P$.
2. Wenn ${\mathrm{Hess}}_{P}f$ positiv definit ist, so besitzt $f$ ein isoliertes lokales Minimum in $P$.
3. Wenn ${\mathrm{Hess}}_{P}f$ indefinit ist, so besitzt $f$ in $P$ weder ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen