Extrema/t^2e^(-t)/Aufgabe/Lösung

Die erste Ableitung ist

$f^{\prime }(t)=(2t-t^2)e^{-t}=t(2-t)e^{-t},$

deren Nullstellen sind $0$ und $2$. Die zweite Ableitung ist

$f^{\prime \prime }(t)=(t^2-4t+2)e^{-t},$

sodass  $f^{\prime \prime }(0)>0$  und  $f^{\prime \prime }(2)<0$  ist. Daher liegt nach Fakt in $0$ ein (isoliertes) lokales Minimum mit dem Wert  $f(0)=0$  und in $2$ ein (isoliertes) lokales Maximum mit dem Wert $4\cdot e^{-2}$ vor. Da für  $t\ne 0$ 

sowohl $t^2$ als auch $e^{-t}$ positiv sind, liegt in $0$ auch das globale Minimum vor. Für $t\to -\mathrm{\infty }$ wächst die Funktion hingegen gegen $+\mathrm{\infty }$, sodass in $2$ kein globales Maximum vorliegt.

Zur gelösten Aufgabe