Extrema/xz durch x^2+y^2/Aufgabe/Lösung

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a) Es handelt sich um eine rationale Funktionen in mehreren Variablen ohne Nullstelle des Nenners, daher existieren alle partiellen Ableitungen. Die partiellen Ableitungen von ergeben sich aus der Quotientenregel; sie sind

und

Der Gradient zu in einem Punkt ist demnach der Vektor

b) Da der Definitionsbereich offen ist und da die Funktion stetig differenzierbar ist, ist es für die Existenz eines lokalen Extremums eine notwendige Bedingung, dass der Gradient ist. Dies kann wegen der dritten partiellen Ableitung nur bei der Fall sein. Dann ist die zweite partielle Ableitung ebenfalls und wegen folgt aus der ersten partiellen Ableitung, dass sein muss. Extrema kann es also allenfalls bei Punkten der Form geben. Die Funktion hat aber bei all diesen Punkten den Wert , so dass es kein isoliertes Extremum gibt.
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