a) Es handelt sich um eine rationale Funktionen in mehreren Variablen ohne Nullstelle des Nenners, daher existieren alle partiellen Ableitungen. Die partiellen Ableitungen von
ergeben sich aus der Quotientenregel; sie sind
-
![{\displaystyle {}{\frac {\partial }{\partial x}}{\left({\frac {xz}{x^{2}+y^{2}}}\right)}={\frac {z(x^{2}+y^{2})-2x^{2}z}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}={\frac {z(-x^{2}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec6cbdfdd1c7582e926d6e4aa8553ca539f663ff)
-
![{\displaystyle {}{\frac {\partial }{\partial y}}{\left({\frac {xz}{x^{2}+y^{2}}}\right)}={\frac {-2xyz}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a39f3ca2208524af0b53b827cf2532047aa5652)
und
-
![{\displaystyle {}{\frac {\partial }{\partial z}}{\left({\frac {xz}{x^{2}+y^{2}}}\right)}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6a28c463128bfa6bcbd00d7c4f775323d12c595)
Der Gradient zu
in einem Punkt
ist demnach der Vektor
-
![{\displaystyle {}\operatorname {Grad} \,f(P)=\left({\frac {z(-x^{2}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}},\,{\frac {-2xyz}{(x^{2}+y^{2})^{2}}},\,{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\right)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a78eb88e2910589452050bd6534c0e6abaa49101)
b) Da der Definitionsbereich offen ist und da die Funktion stetig differenzierbar ist, ist es für die Existenz eines lokalen Extremums eine notwendige Bedingung, dass der Gradient
![{\displaystyle {}0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5428e3b06006771c083bd17ed8fce8f3be334b2)
ist. Dies kann wegen der dritten partiellen Ableitung nur bei
![{\displaystyle {}x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/462f1147c4bd8aa3782ab7b9ce135b750aaeebe3)
der Fall sein. Dann ist die zweite partielle Ableitung ebenfalls
![{\displaystyle {}0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5428e3b06006771c083bd17ed8fce8f3be334b2)
und wegen
![{\displaystyle {}y>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97fa5d7b3b3ba3af18eb99a6ec2154271b06ce13)
folgt aus der ersten partiellen Ableitung, dass
![{\displaystyle {}z=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1032c1dd2cfd2596be3057a76e2e527a465ac065)
sein muss. Extrema kann es also allenfalls bei Punkten der Form
![{\displaystyle {}(0,y,0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/904b75ecfc8008f7aa8736fad65d05e096e1ecf6)
geben. Die Funktion hat aber bei all diesen Punkten den Wert
![{\displaystyle {}0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5428e3b06006771c083bd17ed8fce8f3be334b2)
, so dass es kein isoliertes Extremum gibt.