a) Es handelt sich um eine rationale Funktionen in mehreren Variablen ohne Nullstelle des Nenners, daher existieren alle partiellen Ableitungen. Die partiellen Ableitungen von ergeben sich aus der Quotientenregel; sie sind
-
-
und
-
Der Gradient zu in einem Punkt ist demnach der Vektor
-
b) Da der Definitionsbereich offen ist und da die Funktion stetig differenzierbar ist, ist es für die Existenz eines lokalen Extremums eine notwendige Bedingung, dass der Gradient
ist. Dies kann wegen der dritten partiellen Ableitung nur bei
der Fall sein. Dann ist die zweite partielle Ableitung ebenfalls
und wegen
folgt aus der ersten partiellen Ableitung, dass
sein muss. Extrema kann es also allenfalls bei Punkten der Form
geben. Die Funktion hat aber bei all diesen Punkten den Wert
, sodass es kein isoliertes Extremum gibt.