a) Die Abbildung
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ist eine stetige Bijektion zwischen den reellen Zahlen und dem Graphen zu dieser Funktion. Dabei gilt die Beziehung
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In einer solchen Situation übersetzen sich die Extremaleigenschaften von und von ineinander.
b) Den Graphen kann man als Faser zur Abbildung
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über auffassen. Wenn die Linearform
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auf dieser Faser in einem Punkt ein lokales Extremum besitzt, so besagt der Satz über die Extrema mit Nebenbedingungen, dass
und
linear abhängig sind. Dies ist genau bei
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der Fall, und dies ist die notwendige Bedingung dafür, dass in ein lokales Extremum besitzt.
c) Wir setzen
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und
-
(wir arbeiten also mit
und schließen an die Überlegungen aus Teil b) an).
Die totalen Differentiale sind dann
und .
Im Punkt
liegt also lineare Abhängigkeit vor. Die Funktion hat aber auf der zugehörigen Faser
(das ist der Graph zu )
kein lokales Extremum, was wegen a) daraus folgt, dass die Funktion
kein lokales Extremum besitzt.