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Fünfter Kreisteilungskörper/Nicht graduiert/Aufgabe/Lösung

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Die Galoisgruppe des fünften Kreisteilungskörpers ist isomorph zu . Als Graduierung kommen nur die beiden Gruppen und in Frage. Im zweiten Fall würde aber die Automorphismengruppe nach Fakt eine Untergruppe der Form enthalten, was ausgeschlossen ist. Die einzig verbleibende Möglichkeit wäre also als graduierende Gruppe, und dann wäre

mit einem . Der erzeugende Automorphismus schickt auf ein , das ebenfalls

erfüllt. Somit ist

Dabei ist

ausgeschlossen, da andernfalls

wäre und der Homomorphismus die Ordnung hätte. Also ist

Der fünfte Kreisteilungskörper enthält aber nicht die imaginäre Einheit.