Die Galoisgruppe des fünften Kreisteilungskörpers ist isomorph zu . Als Graduierung kommen nur die beiden Gruppen und in Frage. Im zweiten Fall würde aber die Automorphismengruppe nach
Fakt
eine Untergruppe der Form enthalten, was ausgeschlossen ist. Die einzig verbleibende Möglichkeit wäre also als graduierende Gruppe, und dann wäre
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mit einem . Der erzeugende Automorphismus schickt auf ein , das ebenfalls
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erfüllt. Somit ist
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Dabei ist
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ausgeschlossen, da andernfalls
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wäre und der Homomorphismus die Ordnung hätte. Also ist
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Der fünfte Kreisteilungskörper enthält aber nicht die imaginäre Einheit.