Es ist
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![{\displaystyle {}R_{5}=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1\right)}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59e99676e4611b459385c7cf60900bf8284b3093)
die vier komplexen Einbettungen sind durch
gegeben, wobei die beiden äußeren und die beiden inneren zueinander konjugiert sind. Die beiden für die reelle Gesamteinbettung relevanten Einbettung sind also
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und
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Dabei wird die Ganzheitsbasis auf
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\left(\varphi (X),\,\varphi (X^{2}),\,\varphi (X^{3}),\,\varphi (X^{4})\right)&=\left(\zeta ,\,\zeta ^{2},\,\zeta ^{3},\,\zeta ^{4}\right)\\&=\left(\cos {\frac {2\pi }{5}}+{\mathrm {i} }\sin {\frac {2\pi }{5}},\,\cos {\frac {4\pi }{5}}+{\mathrm {i} }\sin {\frac {4\pi }{5}},\,\cos {\frac {6\pi }{5}}+{\mathrm {i} }\sin {\frac {6\pi }{5}},\,\cos {\frac {8\pi }{5}}+{\mathrm {i} }\sin {\frac {8\pi }{5}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9deb9904e3356e854b1691f65f7ef07fdba1d25d)
bzw.
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\left(\psi (X),\,\psi (X^{2}),\,\psi (X^{3}),\,\psi (X^{4})\right)&=\left(\zeta ^{2},\,\zeta ^{4},\,\zeta ,\,\zeta ^{3}\right)\\&=\left(\cos {\frac {4\pi }{5}}+{\mathrm {i} }\sin {\frac {4\pi }{5}},\,\cos {\frac {8\pi }{5}}+{\mathrm {i} }\sin {\frac {8\pi }{5}},\,\cos {\frac {2\pi }{5}}+{\mathrm {i} }\sin {\frac {2\pi }{5}},\,\cos {\frac {6\pi }{5}}+{\mathrm {i} }\sin {\frac {6\pi }{5}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad9e54de9172ddffa34b226a683b4aacbb3db843)
bzw.
abgebildet. Die reelle Ganzheitsmatrix ist demnach
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