Fünfter Kreisteilungsring/Unterring/2 Einheitswurzel/Gruppenoperation/Aufgabe

Es sei ${}S=\mathbb {Z} [2\zeta ]\subseteq R_{5}$ der durch ${}2\zeta$ erzeugte Unterring des fünften Kreisteilungsringes, wobei ${}\zeta =e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}$ die erste primitive fünfte Einheitswurzel bezeichnet.

1. Bestimme eine Gleichung für ${}S$ über ${}\mathbb {Z}$.
2. Zeige, dass die Galoisoperation auf dem fünften Kreisteilungskörper keine Gruppenoperation auf ${}S$ induziert.
3. Bestimme ${}S\cap \mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}]$.

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