Fünfter Kreisteilungsring/Unterring/2 Einheitswurzel/Gruppenoperation/Aufgabe/Lösung

1. Mit ${}y=2\zeta$ gehören auch ${}4\zeta ^{2},8\zeta ^{3},16\zeta ^{4}$ zu ${}S$. Das Element erfüllt die Gleichung

   ${}y^{4}+2y^{3}+4y^{2}+8y+16=16{\left(\zeta ^{4}+\zeta ^{3}+\zeta ^{2}+\zeta +1\right)}=0\,.$

   Da ${}1,y,y^{2},y^{3}$ linear unabhängig über ${}\mathbb {Q}$ sind, handelt es sich um das Minimalpolynom. Also gilt

   ${}S=\mathbb {Z} [y]/{\left(y^{4}+2y^{3}+4y^{2}+8y+16\right)}\,.$

2. Unter dem durch ${}\zeta \mapsto \zeta ^{2}$ wird ${}2\zeta$ auf ${}2\zeta ^{2}$ abgebildet, dieses Element gehört also nicht zu ${}S$.
3. Wir behaupten

   ${}S\cap \mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}]=\mathbb {Z} [8\zeta ^{2}+8\zeta ^{3}]\,.$

   Dabei ist die Inklusion ${}\supseteq$ klar. Sei ${}f=a\zeta +b\zeta ^{2}+c\zeta ^{3}+d\zeta ^{4}\in S\cap \mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}]$. Das Element ${}f$ gehört zum Unterring ${}\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}]$ genau dann, wenn ${}a=d$ und ${}b=c$ gilt, da diese Bedingungen die Invarianz unter dem Automorphismus ${}\zeta \mapsto \zeta ^{-1}=\zeta ^{4}$ ausdrücken. Wir schreiben

   ${}{\begin{aligned}f&=a\zeta +b\zeta ^{2}+b\zeta ^{3}+a\zeta ^{4}\\&=(a\zeta +a\zeta ^{2}+a\zeta ^{3}+a\zeta ^{4})+(b-a)\zeta ^{2}+(b-a)\zeta ^{3}.\end{aligned}}$

   Der linke Summand gehört zu ${}\mathbb {Z}$, daher gehört ${}f$ genau dann zu ${}S$, wenn der rechte Summand zu ${}S$ gehört. Daraus folgt aber, dass ${}b-a$ ein Vielfaches von ${}8$ sein muss.

Zur gelösten Aufgabe