Fünfzehnter reeller Kreisteilungsring/Wurzel aus 5/Aufgabe

Es sei

$S=\mathbb{Z}[Y]/(Y^4-Y^3-4Y^2+4Y+1)\subseteq R_{15}=\mathbb{Z}[X]/(X^8-X^7+X^5-X^4+X^3-X+1),$

wobei  $Y=X+X^{-1}$  ist.

1. Zeige, dass das Element

   $Z=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

   zu $S$ gehört.

2. Schreibe $Z$ als einen polynomialen Ausdruck in $Y$.
3. Beschreibe $S$ als eine quadratische Erweiterung von $\mathbb{Z}[Z]$.

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