Fünfzehnter reeller Kreisteilungsring/Wurzel aus 5/Aufgabe/Lösung

Da ${}X$ eine primitive ${}15.$ -te Einheitswurzel ist, ist
${}U=X^{3}\,$

eine fünfte primitive Einheitswurzel. Im fünften Kreisteilungsring gilt (siehe Beispiel) die Beziehung

${}Z={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=U^{3}+U^{2}+1=X^{9}+X^{6}+1=X^{6}+X^{-6}+1\,.$

Unter dem durch ${}X\mapsto X^{-1}$ gegebenen Automorphismus, dessen Invariantenring ${}S$ ist, wird dieses Element auf sich selbst abgebildet, gehört also zu ${}S$ .
Es ist
${}{\begin{aligned}X^{6}+X^{-6}+1&=(X^{3}+X^{-3})^{2}-1\\&=((X+X^{-1})^{3}-3(X+X^{-1}))^{2}-1\\&=(Y^{3}-3Y)^{2}-1\\&=Y^{2}(Y^{2}-3)^{2}-1\\&=Y^{2}(Y^{4}-6Y^{2}+9)-1\\&=Y^{6}-6Y^{4}+9Y^{2}-1\\&=Y^{2}{\left(Y^{3}+4Y^{2}-4Y-1\right)}-6{\left(Y^{3}+4Y^{2}-4Y-1\right)}+9Y^{2}-1\\&=Y{\left(Y^{3}+4Y^{2}-4Y-1\right)}+4{\left(Y^{3}+4Y^{2}-4Y-1\right)}-10Y^{3}-16Y^{2}+24Y+5\\&={\left(Y^{3}+4Y^{2}-4Y-1\right)}-2Y^{3}-4Y^{2}+7Y+1\\&=-Y^{3}+3Y.\end{aligned}}$
Es ist
${}{\begin{aligned}ZY&=(-Y^{3}+3Y)Y\\&=-Y^{4}+3Y^{2}\\&=-{\left(Y^{3}+4Y^{2}-4Y-1\right)}+3Y^{2}\\&=-Y^{3}-Y^{2}+4Y+1.\end{aligned}}$
Somit ist
${}Y^{2}+(Z-1)Y-Z-1=0\,$

und ${}Y^{2}+(Z-1)Y-Z-1$ eine Ganzheitsgleichung für ${}Y$ über ${}\mathbb {Z} [Z]$ .