F 2/Projektiver Abschluss/Homogene Gleichungen/Aufgabe/Lösung

1. ${}V$ besteht genau aus den beiden Punkten ${}(1,0)$ und ${}(0,1)$.
2. Der projektive Abschluss von ${}V$ stimmt mit ${}V$ überein, da endliche Mengen stets abgeschlossen sind.
3. Die Homogenisierung von ${}X^{2}+Y^{2}+1$ ist ${}X^{2}+Y^{2}+Z^{2}$. Die Punkte im Unendlichen ergeben sich, wenn man ${}Z=0$ setzt, also als Lösung der Gleichung

   ${}X^{2}+Y^{2}=0\,.$

   Es kommt der Punkt mit den homogenen Koordinaten ${}(1,1,0)$ hinzu, deshalb sind die beiden Mengen verschieden.

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