Beweis
Wir schreiben
-
![{\displaystyle {}f={\frac {a}{b}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9c2b275e3de10d022faa39c77f702fcbabec931)
mit von
verschiedenen Elementen
. Die Primfaktorzerlegungen dieser Elemente seien
und
,
wobei die
nicht untereinander assoziiert seien,
und
Einheiten sind. Dann ist
-
![{\displaystyle {}{\frac {a}{b}}={\frac {u_{1}p_{1}^{m_{1}}\cdots p_{n}^{m_{n}}}{u_{2}p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{n}^{k_{n}}}}=u_{1}u_{2}^{-1}p_{1}^{m_{1}-k_{1}}\cdots p_{n}^{m_{n}-k_{n}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2512a37f6fbb11e1cb80541da3f8c51774273cfd)
eine Darstellung der gewünschten Art. Wenn zwei Darstellungen
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![{\displaystyle {}up_{1}^{r_{1}}\cdots p_{n}^{r_{n}}=f=vp_{1}^{s_{1}}\cdots p_{n}^{s_{n}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f42dadd33c405d9ac4728737c13d4c02c63906f2)
gegeben sind, so erhält man durch Multiplikation mit
für hinreichend großes
, dass links und rechts alle Exponenten positiv werden. Aus der Faktorialität folgt daraus
für alle
und damit auch
.