Fakultätsfunktion/Reell/Funktionalgleichung/Fakt/Beweis

Beweis

Mittels partieller Integration ergibt sich (für reelle Zahlen ${}b\geq a>0$ bei fixiertem ${}x>0$)

${}{\begin{aligned}\int _{a}^{b}t^{x}e^{-t}\,dt&=-t^{x}e^{-t}|_{a}^{b}+\int _{a}^{b}xt^{x-1}e^{-t}\,dt\\&=-b^{x}e^{-b}+a^{x}e^{-a}+x\cdot \int _{a}^{b}t^{x-1}e^{-t}\,dt.\end{aligned}}$

Für ${}b\rightarrow \infty$ geht ${}b^{x}e^{-b}\rightarrow 0$ und für ${}a\rightarrow 0$ geht ${}a^{x}e^{-a}\rightarrow 0$ (da ${}x$ positiv ist). Wendet man auf beide Seiten diese Grenzwertprozesse an, so erhält man ${}\operatorname {Fak} \,(x)=x\operatorname {Fak} \,(x-1)$.

Zur bewiesenen Aussage