Fakultätsfunktion/Wachsend/10! geq e^(11)/Abschätzung mit Exponentialfunktion/Aufgabe

a) Zeige, dass für  ${}x\geq 1$  die Abschätzung

${}\int _{0}^{1}t^{x}e^{-t}\,dt\leq 1\,$

gilt.

b) Zeige, dass die Funktion ${}H(x)$ mit

$H(x)=\int _{1}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt$

für  ${}x\geq 1$  monoton wachsend ist.

c) Zeige, dass ${}10!\geq e^{11}+1$ gilt.

d) Zeige, dass für die Fakultätsfunktion für ${}x\geq 10$ die Abschätzung

$\operatorname {Fak} \,(x)\geq e^{x}$

gilt.

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