Fakultätsfunktion/Wachsend/10! geq e^(11)/Abschätzung mit Exponentialfunktion/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

{}\int _{0}^{1}t^{x}e^{-t}\,dt\leq \int _{0}^{1}t^{x}\,dt\leq \int _{0}^{1}t\,dt<1\,.

b) Es sei ${}x'\geq x\geq 1$ . Dann ist

{}t^{x'}\geq t^{x}\,

für alle ${}t\in \mathbb {R} _{\geq 1}$ . Daher ist

{}t^{x'}e^{-t}\geq t^{x}e^{-t}\,

für alle ${}t\in \mathbb {R} _{\geq 1}$ und daher überträgt sich dies auf die uneigentlichen Integrale, also ist

{}H(x')=\int _{1}^{\infty }t^{x'}e^{-t}\,dt\geq \int _{1}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt=H(x)\,.

c) Es ist ${}e\leq 3$ . Daher ist

{}{\begin{aligned}10!&=10\cdot 9\cdot (8\cdot 1)\cdot (7\cdot 2)\cdot (6\cdot 3)\cdot (5\cdot 4)\\&=10\cdot 9\cdot 8\cdot 14\cdot 18\cdot 20\\&\geq 10\cdot 9\cdot 8\cdot 14\cdot 18\cdot 19+1\\&>e^{2}\cdot e^{2}\cdot e\cdot e^{2}\cdot e^{2}\cdot e^{2}+1\\&=e^{11}+1.\end{aligned}}

d) Es sei ${}x\geq 10$ . Es sei

{}n=\lfloor x\rfloor \leq x\,.

Dann ist wegen a), b) und c)

{}{\begin{aligned}\operatorname {Fak} \,(x)&=\int _{0}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt\\&=\int _{0}^{1}t^{x}e^{-t}\,dt+\int _{1}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt\\&\geq \int _{1}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt\\&\geq \int _{1}^{\infty }t^{n}e^{-t}\,dt\\&=\int _{0}^{\infty }t^{n}e^{-t}\,dt-\int _{0}^{1}t^{n}e^{-t}\,dt\\&\geq n!-1\\&=n(n-1)\cdots 11\cdot (10!)-1\\&\geq e^{n-10}\cdot (e^{11}+1)-1\\&\geq e^{n+1}+1-1\\&\geq e^{x}.\end{aligned}}