Beweis
Die Summierbarkeit der Teilfamilien folgt aus
Fakt.
Es sei
vorgegeben. Da die Ausgangsfamilie summierbar ist, gibt es eine endliche Teilmenge
mit
-

für alle endlichen Teilmengen
mit
.
Es gibt eine endliche Teilmenge
derart, dass
-

ist.
Wir behaupten, dass dieses
für die Familie
,
,
die Summationseigenschaft für
erfüllt. Es sei dazu
mit
endlich und
.
Da die Familien
,
,
summierbar mit den Summen
sind, gibt es für jedes
ein endliches
mit
-

für alle endlichen
mit
.
Wir wählen nun für jedes
ein solches
so, dass zusätzlich
gilt. Dann ist
und daher
.
Somit haben wir insgesamt die Abschätzungen
