Beweis
Die Summierbarkeit der Teilfamilien folgt aus
Fakt.
Es sei
vorgegeben. Da die Ausgangsfamilie summierbar ist, gibt es eine endliche Teilmenge
mit
-
![{\displaystyle {}\vert {a_{E}-s}\vert \leq \epsilon /2\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/383e1e82fc4b36f40f004c54c84477d305962391)
für alle endlichen Teilmengen
mit
.
Es gibt eine endliche Teilmenge
derart, dass
-
![{\displaystyle {}E_{0}\subseteq \bigcup _{j\in F_{0}}I_{j}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c4322f3dedfd354eca4886709cc1ed1013f80c0)
ist.
Wir behaupten, dass dieses
für die Familie
,
,
die Summationseigenschaft für
erfüllt. Es sei dazu
mit
endlich und
.
Da die Familien
,
,
summierbar mit den Summen
sind, gibt es für jedes
ein endliches
mit
-
![{\displaystyle {}\vert {a_{G_{j}}-s_{j}}\vert \leq \epsilon /2n\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a903667a30b4980831957f979aac0de5941d797b)
für alle endlichen
mit
.
Wir wählen nun für jedes
ein solches
so, dass zusätzlich
gilt. Dann ist
und daher
.
Somit haben wir insgesamt die Abschätzungen
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\vert {\sum _{j\in F}s_{j}-s}\vert &=\vert {\sum _{j\in F}{\left(s_{j}-a_{G_{j}}\right)}+\sum _{j\in F}a_{G_{j}}-s}\vert \\&\leq \sum _{j\in F}\vert {s_{j}-a_{G_{j}}}\vert +\vert {\sum _{j\in F}a_{G_{j}}-s}\vert \\&\leq n\cdot \epsilon /2n+\vert {\sum _{i\in E}a_{i}-s}\vert \\&\leq n\cdot \epsilon /2n+\epsilon /2\\&=\epsilon .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37cfc3df8891782565a0018b01650724c41ca3e1)