Familie komplexer Zahlen/Summierbar/Real- und Imaginärteil/Aufgabe/Lösung

Wir arbeiten mit dem Cauchy-Kriterium. Es sei die Familie summierbar und sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Dann gibt es eine endliche Teilmenge ${}E_{0}$ derart, dass für jede endliche Teilmenge ${}D$, die zu ${}E_{0}$ disjunkt ist, die Abschätzung

${}\vert {\sum _{j\in D}a_{j}}\vert \leq \epsilon \,$

gilt. Wegen

${}{\begin{aligned}\vert {\sum _{j\in D}\operatorname {Re} \,{\left(a_{j}\right)}}\vert ,\vert {\sum _{j\in D}\operatorname {Im} \,{\left(a_{j}\right)}}\vert &\leq \vert {\sum _{j\in D}\operatorname {Re} \,{\left(a_{j}\right)}+{\mathrm {i} }\sum _{j\in D}\operatorname {Im} \,{\left(a_{j}\right)}}\vert \\&=\vert {\sum _{j\in D}a_{j}}\vert \\&\leq \epsilon \end{aligned}}$

ist dann auch die Familie der Real- und der Imaginärteile summierbar.

Wenn umgekehrt diese Familien summierbar sind, so gibt es zu einem vorgegebenen ${}\epsilon >0$ eine endliche Teilmenge ${}E_{0}$ derart, dass für zu ${}E_{0}$ disjunkte Teilmengen ${}D$ die Abschätzungen

${}\vert {\sum _{j\in D}\operatorname {Re} \,{\left(a_{j}\right)}}\vert ,\vert {\sum _{j\in D}\operatorname {Im} \,{\left(a_{j}\right)}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}\,$

gelten. Daraus erhält man

${}{\begin{aligned}\vert {\sum _{j\in D}a_{j}}\vert &=\vert {\sum _{j\in D}\operatorname {Re} \,{\left(a_{j}\right)}+{\mathrm {i} }\sum _{j\in D}\operatorname {Im} \,{\left(a_{j}\right)}}\vert \\&\leq \vert {\sum _{j\in D}\operatorname {Re} \,{\left(a_{j}\right)}}\vert +\vert {\sum _{j\in D}\operatorname {Im} \,{\left(a_{j}\right)}}\vert \\&={\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}\\&\leq \epsilon .\end{aligned}}$

Die Gleichung folgt aus dem großen Umordnungssatz.

Zur gelösten Aufgabe