Fermat-Kubik/C/Körpererweiterung/Aufgabe

Das Polynom ${}Z^{3}-X^{3}-Y^{3}\in {\mathbb {C} }(X,Y)[Z]$ ist irreduzibel und definiert daher eine endliche Körpererweiterung

${}{\mathbb {C} }(X,Y)\subseteq {\mathbb {C} }(X,Y)[Z]/{\left(Z^{3}-X^{3}-Y^{3}\right)}=:L\,$

vom Grad ${}3$. Es sei ${}\zeta$ eine primitive dritte komplexe Einheitswurzel und es sei ${}G=\{1,\zeta ,\zeta ^{2}\}$ die Gruppe der komplexen dritten Einheitswurzeln.

1. Zeige, dass durch

   $X\mapsto X,\,Y\mapsto Y,\,Z\mapsto \zeta Z$

   ein ${}{\mathbb {C} }(X,Y)$-Automorphismus auf ${}L$ gegeben ist.

2. Zeige, dass ${}{\mathbb {C} }(X,Y)\subseteq L$ eine Galoiserweiterung ist.
3. Zeige, dass ${}{\mathbb {C} }(X,Y)\subseteq L$ eine graduierte Körpererweiterung ist.
4. Zeige, dass durch

   $X\mapsto \zeta X,\,Y\mapsto \zeta Y,\,Z\mapsto \zeta ^{2}Z$

   ein ${}{\mathbb {C} }$-Automorphismus auf ${}L$ der Ordnung ${}3$ gegeben ist.

5. Zeige, dass der Fixkörper zum Automorphismus aus (4) isomorph zum rationalen Funktionenkörper in zwei Variablen ist.

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