Fermat-Kubik/C/Körpererweiterung/Aufgabe

Das Polynom  $Z^3-X^3-Y^3\in ℂ(X,Y)[Z]$  ist irreduzibel und definiert daher eine endliche Körpererweiterung

$ℂ(X,Y)\subseteq ℂ(X,Y)[Z]/(Z^3-X^3-Y^3)=:L$

vom Grad $3$. Es sei $\zeta$ eine primitive dritte komplexe Einheitswurzel und es sei  $G=\{1,\zeta ,{\zeta }^2\}$  die Gruppe der komplexen dritten Einheitswurzeln.

1. Zeige, dass durch

   $X\mapsto X,Y\mapsto Y,Z\mapsto \zeta Z$

   ein $ℂ(X,Y)$-Automorphismus auf $L$ gegeben ist.

2. Zeige, dass  $ℂ(X,Y)\subseteq L$  eine Galoiserweiterung ist.
3. Zeige, dass  $ℂ(X,Y)\subseteq L$  eine graduierte Körpererweiterung ist.
4. Zeige, dass durch

   $X\mapsto \zeta X,Y\mapsto \zeta Y,Z\mapsto {\zeta }^{2}Z$

   ein $ℂ$-Automorphismus auf $L$ der Ordnung $3$ gegeben ist.

5. Zeige, dass der Fixkörper zum Automorphismus aus (4) isomorph zum rationalen Funktionenkörper in zwei Variablen ist.

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