Fermat-Kubik/Variablenquadrate/Syzygienmodul/Restklassendarstellung/Diskreter Bewertungsring/Beispiel

Wir betrachten den Syzygienmodul ${}\operatorname {Syz} {\left(x^{2},y^{2},z^{2}\right)}$ auf ${}K[X,Y,Z]/{\left(X^{3}+Y^{3}+Z^{3}\right)}$. Es gibt die Auflösung

$R\oplus R(-1)^{\oplus 3}\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(x^{2},y^{2},z^{2}\right)}(3)\longrightarrow 0,$

die durch die Koszulsyzygien und die Gleichung gegeben ist. Die Auflösung geht weiter mit ${}R(-2)^{3}$ für die Relationen zwischen den Koszulsyzygien und weiteren.

Die Syzygie ${}(x,y,z)$ aus der Gleichung definiert direkt die Abbildung ${}R\rightarrow \operatorname {Syz} {\left(x^{2},y^{2},z^{2}\right)}(3)$, der Quotient ist dabei das maximale Ideal, die Koszulsyzygie ${}\left(y^{2},\,-x^{2},\,0\right)$ wird nach Bemerkung auf ${}{\frac {x^{2}z}{x^{2}}}=z$ abgebildet. Es liegt also die kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\operatorname {Syz} {\left(x^{2},y^{2},z^{2}\right)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathfrak {m}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

vor. Ferner ist

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathfrak {m}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R/{\mathfrak {m}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0,$

für die Kohomologiegruppen gilt dabei ${}H^{1}(U,{\mathfrak {m}})\cong H^{1}(U,{\mathcal {O}}_{X})$. Unklar, wie das auf der Aufblasung aussieht. Für Abbildungen von Kurven nach ${}X$ macht der Rückzug von ${}{\mathfrak {m}}$ und Strukturgarbe auch einen Unterschied. Schon ${}{\frac {z^{2}}{xy}}$ wird als Element des maximalen Ideals auf eine Gerade anders eingeschränkt.

Der nichtexakte Komplex

$0\longrightarrow R\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(x^{2},y^{2},z^{2}\right)}\longrightarrow R\longrightarrow 0$

führt in der Aufblasung jedenfalls zu einen Komplex von kohärenten Moduln

$0\longrightarrow {\mathcal {O}}_{\tilde {X}}\longrightarrow \pi ^{*}\operatorname {Syz} {\left(x^{2},y^{2},z^{2}\right)}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{\tilde {X}}\longrightarrow 0,$

dessen Einschränkung auf ${}U$ exakt ist. Die Kohomologieklasse in der Mitte geht auf die Klasse in ${}H^{1}(U,{\mathcal {O}}_{\tilde {X}})$, die als solche in der lokalen Kohomologie auf ${}0$ geht (das gilt nicht für ${}\pi ^{*}{\mathfrak {m}}$). Die Frage ist dann, ob

$0\longrightarrow H_{E}^{2}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}})\longrightarrow H_{E}^{2}(\pi ^{*}\operatorname {Syz} {\left(x^{2},y^{2},z^{2}\right)})\longrightarrow H_{E}^{2}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}})\longrightarrow 0$

exakt ist. Die Faktorisierung

$H_{E}^{2}(\pi ^{*}\operatorname {Syz} {\left(x^{2},y^{2},z^{2}\right)})\longrightarrow H_{E}^{2}(\pi ^{*}{\mathfrak {m}})\longrightarrow H_{E}^{2}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}).$