Fermatkubik/4 Variablen/Charakteristik p/Annullation/Beispiel

In Beispiel ist  $X\subseteq {\mathbb{P}}_K^3$  direkt eingebettet und ebenso ist die Kohomologieklasse  $c=\frac{W^2}{XYZ}$  schon in der richtigen Form gegeben. Der Grad ist $3$, das ist der Schnitt mit einer Geraden $=H^2$. Es ist aber

$Wc=0.$

Wenn man hingegen in Charakteristik $p$ zu

$c^p=\frac{W^{2p}}{X^p{Y}^p{Z}^p}$

übergeht, so ist dies bei  $p=2$  gleich $0$. Bei  $p=3s+1$  ist  $2p=6s+2$  und somit ist dies

$\frac{W^{2p}}{X^p{Y}^p{Z}^p}=\frac{W^2(W^3{)}^{2s}}{X^p{Y}^p{Z}^p}=\frac{W^2(X^3+Y^3+Z^3{)}^{2s}}{X^p{Y}^p{Z}^p}$

und dies ist multipliziert mit $W$ gleich

$\frac{(X^3+Y^3+Z^3{)}^{2s+1}}{X^p{Y}^p{Z}^p}=\frac{(X^3+Y^3+Z^3{)}^{2s+1}}{X^{3s+1}{Y}^{3s+1}{Z}^{3s+1}}.$

Dies enthält beispielsweise den Summanden $\frac{X^{3s}{Y}^{3s}{Z}^3}{X^{3s+1}{Y}^{3s+1}{Z}^{3s+1}}$ mit dem Vorfaktor $\frac{(2s+1)!}{s!s!}$, der modulo $p$ eine Einheit ist.