Fibonacci-Zahlen/Matrix/Iterationen/Eigenvektoren/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}{\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\,,$

${}{\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{2}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\,,$

${}{\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{3}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}\,,$

${}{\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{4}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}}\,.$

b) Wir behaupten

${}y_{n+1}=x_{n}\,$

und die rekursive Beziehung

${}x_{n+1}=x_{n}+x_{n-1}\,$

mit den Anfangsbedingungen ${}x_{0}=0$ und ${}x_{1}=1$. Beides beweisen wir durch Induktion über ${}n$, wobei der Induktionsanfang klar ist. Wegen

${}{\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix}}=M{\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}}\,$

ist

${}x_{n+1}=x_{n}+y_{n}=x_{n}+x_{n-1}\,$

und

${}y_{n+1}=x_{n}\,.$

c) Das charakteristische Polynom zu ${}M$ ist

${}\det {\begin{pmatrix}x-1&-1\\-1&x\end{pmatrix}}=(x-1)x-1=x^{2}-x-1={\left(x-{\frac {1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {1}{4}}-1={\left(x-{\frac {1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {5}{4}}\,.$

Somit sind

${}x_{1},x_{2}={\frac {\pm {\sqrt {5}}}{2}}+{\frac {1}{2}}\,$

die Nullstellen und nach Fakt die Eigenwerte von ${}M$. Der Kern zu

${}{\begin{pmatrix}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}-1&-1\\-1&{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}&-1\\-1&{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\end{pmatrix}}\,$

wird von

${\begin{pmatrix}1\\{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\end{pmatrix}}$

und der Kern zu

${}{\begin{pmatrix}{\frac {-{\sqrt {5}}+1}{2}}-1&-1\\-1&{\frac {-{\sqrt {5}}+1}{2}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {-{\sqrt {5}}-1}{2}}&-1\\-1&{\frac {-{\sqrt {5}}+1}{2}}\end{pmatrix}}\,$

wird von

${\begin{pmatrix}-1\\{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\end{pmatrix}}$

erzeugt. Die Eigenvektoren sind also

${\begin{pmatrix}1\\{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\end{pmatrix}}$

und

${\begin{pmatrix}-1\\{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\end{pmatrix}}.$

Zur gelösten Aufgabe