Fläche/(X+Y)^3+Z^2/C/Normalisierung/Analytische Eigenschaften/Aufgabe/Lösung

a) Die Jacobi-Matrix ist

$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& -2t\\ 0& 3t^2\end{array}\right).$

b) Für  $t\ne 0$  ist der Rang der Matrix gleich $2$ und die Abbildung ist regulär, für  $t=0$  wird die zweite Spalte zu $0$ und der Rang der Matrix ist $1$. Die regulären Punkte der Abbildung sind also genau die Punkte $(s,t)$ mit  $t\ne 0$. 

c) Es ist

$(x+y{)}^3+z^2=({\phi }_1(s,t)+{\phi }_2(s,t){)}^3+{\phi }_3(s,t{)}^2=(x-x-t^2{)}^3+(t^3{)}^2=-t^6+t^6=0.$

d) Es seien  $P=(s,t)$  und

$P^{\prime }=(s^{\prime },t^{\prime })$

gegeben mit

$\phi (s,t)=\phi (s^{\prime },t^{\prime }).$

Wegen

${\phi }_1(s,t)=s$

folgt sofort  $s=s^{\prime }$.  Wegen

${\phi }_2(P)=-s-t^2=-s^{\prime }-t{\text{'}}^2={\phi }_2(P^{\prime })$

folgt

$t^2=t{\text{'}}^2$

und wegen

${\phi }_3(P)=t^3=t{\text{'}}^3={\phi }_3(P^{\prime })$

haben wir auch

$t^3=t{\text{'}}^3.$

Bei  $t=0$  muss auch  $t^{\prime }=0$  sein. Bei  $t\ne 0$  ist auch  $t^{\prime }\ne 0$  und somit ist

$t^{\prime }=\frac{t{\text{'}}^3}{t{\text{'}}^2}=\frac{t^3}{t^2}=t.$

Also ist

 $P=P^{\prime }$. 

Zur gelösten Aufgabe